Problemas que motivaram o surgimento da trigonometria

 Surgimento da trigonometria
Tentando resolver o problema da navegação, os gregos interessaram-se também, em determinar o raio da Terra e a distância da Terra à Lua. Este último problema implicou o surgimento das primeiras noções de Trigonometria.

O primeiro cálculo da circunferência da Terra foi realizado por Eratóstenes (250 A.C.), o bibliotecário de Alexandria. Os seus cálculos dependiam do ângulo formado pela sombra do Sol e pela vertical em dois pontos: um ao norte e outro ao sul.

Eratóstenes sabia que Alexandria, ponto A na figura abaixo, ficava a 800 km da cidade hoje chamada de Assuã, ponto B e, portanto, esta era a medida do arco AB na figura. Ele também sabia que em 21 de Junho, solstício de Verão no hemisfério Norte, ao meio dia em Assuã, o Sol incidia directamente sobre as suas cabeças, junto à primeira catarata do Nilo. Portanto, os seus raios formavam um ângulo de zero graus com a vertical, não produzindo sombra. No mesmo instante, os raios do Sol formavam um ângulo de 7  1/2 graus com a vertical, em Alexandria.

Devido à grande distância do Sol, ao atingirem a Terra, os raios do Sol poderiam ser considerados paralelos e, portanto, os ângulos AÔB e DÂS são iguais, conforme mostra a figura abaixo:

Como o ângulo formado no centro da Terra pelas linhas que partiam de Assuã e de Alexandria, era igual a 7  1/2 graus, calcular o raio da Terra era

equivalente a resolver a seguinte proporção , uma vez que a circunferência inteira da Terra mede 360^o.

Suponhamos que a Lua seja observada de dois pontos C e E, conforme mostra a figura abaixo:

Tal problema pode ser resolvido se observarmos que em triângulos rectângulos semelhantes as razões, constantes, entre as medidas dos seus lados podem ser associadas aos seus ângulos. Estas razões são chamadas razões trigonométricas. Hiparco organizou diversas tabelas relacionando razões trigonométricas com ângulos.